Geometric Hamiltonian formulation of a variational problem depending on the covariant acceleration

We consider a second-order variational problem depending on the covariant acceleration, which is related to the notion of Riemannian cubic polynomials. This problem and the corresponding optimal control problem are described in the context of higher order tangent bundles using geometric tools. The main tool, a presymplectic variant of Pontryagin’s maximum principle, allows us to study the dynamics of the control problem

Motion on lie groups and its applications in control theory

The usefulness in control theory of the geometric theory of motion on Lie groups and homogeneous spaces will be shown. We quickly review some recent results concerning two methods to deal with these systems, namely, a generalization of the method proposed by Wei and Norman for linear systems, and a reduction procedure. This last method allows us to reduce the equation on a Lie group G to that on a subgroup H, provided a particular solution of an associated problem in G/H is known. These methods are shown to be very appropriate to deal with control systems on Lie groups and homogeneous spaces, through the specific examples of the planar rigid body with two oscillators and the front-wheel driven kinematic car.http://www.sciencedirect.com/science/article/B6VN0-49F836Y-3/1/3e135eb33cca05a026b85455b554430

Formulación geométrica de la dinámica y el control de sistemas híbridos clásico-cuánticos

En este trabajo utilizamos el formalismo geométrico de la mecánica cuántica para estudiar la controlabilidad de sistemas clásico-cuánticos (híbridos). Estudiamos primero las condiciones que aseguran la controlabilidad y mediante multiplicadores de Lagrange se determinan los requisitos que el control óptimo debe cumplir para guiar al sistema a través de unos puntos preestablecidos (hacemos un spline cúbico). Por último, se aplica a un caso particular sencillo para poner en evidencia las técnicas presentadas con resultados prometedores

Formalismo geométrico de la Mecánica Cuántica y sus aplicaciones a modelos moleculares

En este trabajo se presenta el formalismo geométrico de la mecánica cuántica y se explotan sus similitudes formales con el formalismo geométrico de la mecánica clasica para presentar el formalismo híbrido clásico-cuántico. En este contexto se estudia la toería de control de los sitemas híbridos dando condiciones de controlabilidad para sistemas hamiltonianos de control de interés físico. Se construye un ejemplo concreto sobre el que se realizan test numéricos de dichas condiciones.<br /

Formalismo geométrico de la Mecánica Cuántica y sus aplicaciones: Dinámica de tensores en sistemas abiertos markovianos

En este trabajo se utiliza el formalismo geométrico de la Mecánica Cuántica para estudiar desde un nuevo punto de vista la dinámica de sistemas abiertos (sometidos a una evolución no unitaria). Se analiza la posibilidad de trasladar la evolución del espacio de matrices densidad al espacio de tensores sobre el dual del álgebra de observables que codifican las estructuras algebraicas sobre la misma, y se estudian las propiedades de convergencia de estos tensores en el límite de tiempos largos

Evolutionary emergence of collective intelligence in large groups of students

The emergence of collective intelligence has been studied in much greater detail in small groups than in larger ones. Nevertheless, in groups of several hundreds or thousands of members, it is well-known that the social environment exerts a considerable influence on individual behavior. A few recent papers have dealt with some aspects of large group situations, but have not provided an in-depth analysis of the role of interactions among the members of a group in the creation of ideas, as well as the group’s overall performance. In this study, we report an experiment where a large set of individuals, i.e., 789 high-school students, cooperated online in real time to solve two different examinations on a specifically designed platform (Thinkhub). Our goal of this paper 6 to describe the specific mechanisms of idea creation we were able to observe and to measure the group’s performance as a whole. When we deal with communication networks featuring a large number of interacting entities, it seems natural to model the set as a complex system by resorting to the tools of statistical mechanics. Our experiment shows how an interaction in small groups that increase in size over several phases, leading to a final phase where the students are confronted with the most popular answers of the previous phases, is capable of producing high-quality answers to all examination questions, whereby the last phase plays a crucial role. Our experiment likewise shows that a group’s performance in such a task progresses in a linear manner in parallel with the size of the group. Finally, we show that the controlled interaction and dynamics foreseen in the system can reduce the spread of “fake news” within the group

La transformada de Weyl-Wigner en Física Molecular

La transformada de Wigner-Weyl permite definir una relación entre las funciones definidas sobre un espacio de fases clásico y el conjunto de operadores diferenciales definidos sobre un espacio de Hilbert en la formulación de Schrödinger de la Mecánica Cuántica. Esta transformada tiene diversas aplicaciones en distintos campos de la física. En particular, en este trabajo, estamos interesados en sus aplicaciones a sistemas moleculares. En estos modelos moleculares es frecuente emplear la aproximación semi-clásica para los estados correspondientes a las partículas más pesadas mientras que los estados correspondientes a las partículas más livianas se mantienen como estados cuánticos. De esta forma, el modelo resultante es un modelo híbrido clásico-cuántico. Si a los estados correspondientes a los elementos de este tipo de sistemas híbridos se les da un tratamiento en término de las funciones de Wigner se puede obtener una representación de estos sistemas en el espacio de fase. La representación de estos sistemas en términos del espacio de fase, esto es, la obtención de las funciones de Wigner híbridas, en conjunto con la caracterización semi-clásica de estas funciones para aquellos grados de libertad modelados como clásicos nos ha permitido obtener una caracterización analítica de las probabilidades asociadas a la medición híbrida. Además, mediante la representación gráfica de los dos primeros órdenes en la expansión asintótica de la función de Wigner semi-clásica hemos podido observar que ya a primer orden en la aproximación semi-clásica tenemos contribuciones cuánticas. Esta primera corrección está determinada analíticamente y su implementación al modelo propuesto por \cite{1} podría proporcionar una descripción más aproximada del sistema estadístico híbrido. Cabe destacar que la obtención de términos adicionales en la expansión podrían permitir mejores correcciones al modelo y consecuentemente también podrían proporcionar correcciones cuánticas importantes a una ecuación generalizada de von Neumann.<br /

El Formalismo Geométrico de la Mecánica Cuántica y sus aplicaciones

El Formalismo Geométrico de la Mecánica Cuántica resulta una herramienta muy poderosa que, desde los años setenta, persigue describir tanto sistemas cuánticos como sistemas clásicos bajo un mismo marco matemático. En la primera parte del trabajo veremos cómo, echando mano de la geometría diferecial, traduce las estructuras tensoriales propias de los sistemas clásicos hamiltonianos en elementos con los que describir el espacio de Hilbert de un sistema cuántico, su espacio de observables, la dinámica dada por la ecuación de Schrödinger y la información espectral de cada uno de sus operadores. De esta forma, conseguida la traducción, se hace evidente la potencialidad del formalismo en aplicaciones como el tratamiento de sistemas mixtos clásico-cuánticos. En la segunda parte del trabajo y mediante la ayuda de este formalismo geométrico conseguiremos una adaptación del modelo de Ehrenfest, que es el que se encarga de esta disciplina, para conseguir una descripción hamiltoniana tanto de la parte clásica como de la parte cuántica del sistema mixto y tratar ambas como si fueran ``clásicas''. Mediante este cambio, nos será posible entonces ampliar el modelo para recuperar efectos que antes no contemplaba, como es el de la evolución de la pureza, ingrediente necesario para describir cualquier tipo de decoherencia en el sistema. Finalmente y con la intención de comprobar la validez de esta ampliación, estudiaremos la evolución de la pureza de diferentes sistemas, en concreto la influencia de la temperatura sobre la pureza de sistemas moleculares, y su parecido con la fenomenología observada. La importancia del Formalismo Geométrico de la Mecánica Cuántica en la reconstrucción del modelo de Ehrenfest habrá quedado entonces probada

El límite clásico en sistemas cuánticos e híbridos

La mecánica es una rama de la física en la que el objeto de estudio es el movimiento de cuerpos y su evolución en el tiempo bajo la acción de fuerzas. En el estudio de la misma se encuentran dos aproximaciones o enfoques principalmente, que son la mecánica clásica y la mecánica cuántica. Sin embargo, estos enfoques son muy diferentes entre sí, presentando diferencias sustanciales. Se considera que el enfoque clásico no es adecuado para escalas espaciales pequeñas, puesto que los modelos cuánticos suelen ajustarse mejor a fenómenos observados experimentalmente. Por contra, el problema principal de la mecánica cuántica es la complejidad de la misma, cuando se busca describir sistemas formados por muchas particulas, los grados de libertad crecen muy rápidamente, haciendo que el tratamiento de estos sea muy tedioso y en ocasiones, computacionalmente inviable. Esto se hace patente en el estudio de sistemas moleculares, donde solo la descripción de una molécula presenta gran dificultad. En este trabajo se ha estudiado cuándo una dinámica cuántica puede aproximarse por una dinámica clásica, aprendiendo para ello a compararlas sobre un marco común. La dinámica clásica se ha modelizado con la construcción de Hagedorn, que permite construir un estado pertenenciente al espacio de Hilbert cuya evolución viene dada por la evolución de parámetros clásicos. De esta manera, se puede utilizar como marco común el propio espacio de Hilbert, comparando los estados $\psi_c(x,t)$ y $\psi_q(x,t)$ o en el espacio de observables. Esto se puede realizar comparando los valores promedio de los observables principales del sistema (posición y momento) y sus incertidumbres asociadas a ambos estados, es decir, para el estado que evoluciona clásicamente y para el que lo hace cuánticamente.<br /

Sistemas cuánticos abiertos: descripción geométrica, dinámica y control

El tema central de la tesis doctoral es el análisis de los sistemas cuánticos abiertos. Estos sistemas se caracterizan por estar sometidos a la interacción con el entorno, lo que provoca que su evolución deje de ser unitaria. Es por tanto necesario considerar modelos más allá de la ecuación de Schrödinger. Los sistemas cuánticos abiertos aparecen en numerosos campos, como la Física del Estado Sólido y la Dinámica Molecular. Por este motivo, un análisis detallado de sus propiedades y su dinámica es un tema digno de estudio con un gran abanico de aplicaciones.El enfoque elegido en esta tesis es el desarrollo de un formalismo geométrico que describa de forma adecuada las características de los sistemas cuánticos abiertos. La geometría diferencial ha demostrado ser una herramienta muy útil en el análisis de sistemas físicos. Desde mediados del siglo XX, se ha desarrollado con gran éxito una descripción geométrica de la Mecánica Clásica, principalmente en torno a las mecánicas lagrangiana y hamiltoniana. Por este motivo, resulta natural describir también los sistemas cuánticos en términos geométricos. Las ventajas de un formalismo geométrico resultan claras. Cuando tanto los sistemas clásicos como los cuánticos se describen en los mismos términos, es sencillo describir situaciones en las que existan interacciones clásico-cuánticas. Éste es el caso, por ejemplo, de muchos modelos de Dinámica Molecular, en los que los núcleos y los electrones son considerados respectivamente como partículas clásicas y cuánticas. Por otra parte, un formalismo geométrico de la Mecánica Cuántica posibilita un mejor entendimiento de las diferencias intrínsecas entre las teorías clásicas y las cuánticas.Dada su relevancia a lo largo de la tesis, el Capítulo 1 está enfocado al resumen y el análisis de la descripción geométrica de la imagen de Schrödinger de la Mecánica Cuántica. En formulación usual (algebraica), esta imagen se basa en la representación de los estados de los sistemas cuánticos mediante vectores en un espacio de Hilbert complejo. La transición a una formulación basada en geometría diferencial es inmediata para sistemas finito-dimensionales, dado que los espacios lineales de dimensión finita son casos triviales de variedades diferenciables. Las estructuras adicionales, en concreto el producto hermítico propio de los espacios de Hilbert y los escalares complejos, se describen mediante campos tensoriales en dichas variedades diferenciables, formando lo que se conoce como una estructura Kähler. Todos los ingredientes necesarios para el análisis de sistemas cuánticos pueden describirse en estas variedades de Kähler. Los observables se representan mediante funciones diferenciables, mientras que la dinámica se describe mediante curvas integrales de campos vectoriales hamiltonianos respecto a la forma simpléctica de la estructura Kähler. Esta caracterización puede llevarse a cabo en el espacio de Hilbert asociado a cualquier sistema cuántico finito-dimensional. Además, es posible analizar las propiedades geométricas del espacio proyectivo de Hilbert, el cual constituye el conjunto de estados puros del sistema. Su estructura Kähler puede ser deducida mediante un proceso de reducción de la estructura previamente obtenida en el espacio de Hilbert. Como aspecto novedoso, la tesis presenta en detalle este proceso de reducción, dotándolo de una descripción matemática adecuada.Todas las características de la imagen de Schrödinger pueden describirse de forma geométrica, lo que permite utilizar nuevas herramientas en el análisis de los sistemas cuánticos. Éste es precisamente el tema principal del Capítulo 2, en el cual se utilizan los sistemas de Lie-Kähler para resolver la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo. En geometría diferencial, un sistema de Lie es un sistema no homogéneo de ecuaciones diferenciales que admite una regla de superposición. En general, la obtención de esta regla de superposición es una ardua tarea, la cual puede aligerarse en presencia de estructuras adicionales que sean preservadas por la acción del sistema de Lie. De esta forma, según la estructura preservada, es posible hablar de sistemas de Lie-Hamilton, Lie-Dirac, etc. En el caso de la Mecánica Cuántica, una ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo es un sistema de Lie que preserva la estructura de Kähler previamente descrita. Es por tanto un nuevo tipo de sistema de Lie, al que resulta natural denominar de Lie-Kähler. El Capítulo 2 presenta las propiedades de estos nuevos sistemas y describe un método riguroso para la obtención de sus reglas de superposición.El formalismo geométrico puede extenderse más allá de la imagen de Schrödinger, lo que resulta necesario en el contexto de los sistemas cuánticos abiertos, dado que tanto estados puros como estados mezcla son necesarios para su descripción. Por este motivo, el Capítulo 3 resume la imagen de Heisenberg de la Mecánica Cuántica y su representación de los estados puros y mezcla como funcionales lineales en el álgebra de Lie-Jordan de observables. Se explica también como las estructuras algebraicas de los observables pueden representarse geométricamente en el espacio dual de funcionales lineales en el álgebra. Este es el punto de partida de una de las principales contribuciones de la tesis. Un proceso de reducción, similar al realizado en el análisis de la imagen de Schrödinger, permite describir las propiedades geométricas de la variedad de estados puros y mezcla del sistema. De esta forma, se obtienen dos campos tensoriales en la variedad de estados, los cuales representan correctamente las estructuras algebraicas de los observables. Puede por tanto concluirse que el formalismo geométrico presentado en la tesis es completamente equivalente a la descripción algebraica tradicional, ya que se logra describir adecuadamente todas las propiedades de los sistemas cuánticos. Además, el formalismo geométrico ofrece una visión más clara de las propiedades intrínsecas de la Mecánica Cuántica, lo que facilita una mejor comprensión de la teoría. Por otra parte, un análisis geométrico de la variedad de estados permite estudiar su estratificación y sus propiedades. La tesis demuestra que se trata de una variedad con borde, cuyos puntos extremales son precisamente los estados puros del sistema. La estratificación de esta variedad resulta importante a la hora de considerar la dinámica inducida por campos gradiente y hamiltonianos. Con el objetivo de ilustrar todas estas propiedades, se analizan unos casos sencillos pero con relevancia física.A lo largo de la tesis, se muestran diversas aplicaciones del formalismo geométrico al análisis de sistemas cuánticos abiertos. El Capítulo 4 presenta la descripción de la evolución markoviana de sistemas cuánticos abiertos. Se dice que una evolución es markoviana si depende únicamente en el estado actual del sistema y no de los estados en instantes anteriores, es decir, si el sistema "no tiene memoria". En Mecánica Cuántica, la evolución markoviana se obtiene a partir de la ecuación de Kossakowski-Lindblad, una ecuación diferencial de primer orden en la variedad de estados puros y mezcla de un sistema cuántico abierto. El formalismo geométrico describe esta ecuación como un campo tensorial en esta variedad, lo que permite analizar las propiedades de sus curvas integrales. De esta manera, es posible considerar diversos aspectos de la evolución markoviana desde un punto de vista geométrico. Cualquier evolución no-unitaria determina un cambio en las propiedades algebraicas de los observables cuánticos, lo que puede resultar en una contracción del álgebra. En términos geométricos, esta contracción puede entenderse mediante el límite de una familia de campos tensoriales definida por el flujo del campo tensorial de Kossakowski-Lindblad. Otra característica importante de esta evolución es la existencia de variedades límite. Sus propiedades pueden determinarse gracias a la estructura afín existente, lo que a su vez permite investigar su relación con las contracciones de álgebras de observables. Por último, se ofrece una descripción geométrica de los problemas de control de sistemas cuánticos abiertos. Un análisis geométrico de la Mecánica Cuántica permite aplicar a estos problemas los resultados de la teoría de control de grupos de Lie. Como consecuencia, es posible realizar una clasificación de los sistemas cuánticos abiertos según sus propiedades de controlabilidad.Otro ejemplo de sistemas cuánticos abiertos aparece en el contexto de la Dinámica Molecular. En el estudio de sistemas moleculares, debido al gran número de partículas presentes, la ecuación de Schrödinger no puede ser resuelta ni siquiera por métodos numéricos. Por tanto, resulta útil considerar aproximaciones a la ecuación de Schrödinger. En particular, existen muchos modelos que consideran un comportamiento clásico de algunas de las partículas, normalmente los núcleos. El Capítulo 5 resume las propiedades estos modelos moleculares, y en particular del conocido como modelo de Ehrenfest. Es posible llevar a cabo una descripción geométrica de este modelo, basándose en las descripciones de los subsistemas clásico y cuántico. Como resultado, las ecuaciones del modelo pueden escribirse como ecuaciones hamiltonianas en una variedad de Poisson. A partir de estas propiedades, la tesis presenta una generalización del modelo de Ehrenfest a distribuciones estadísticas. Este es un paso importante, ya que se demuestra que esta descripción estadística predice la aparición de efectos relacionados con el fenómeno de decoherencia, algo que no ocurre en el modelo de Ehrenfest estándar. Se han realizado simulaciones numéricas, cuyos resultados respaldan la descripción de sistemas moleculares mediante el modelo estadístico de Ehrenfest. Por último, en este contexto resulta posible considerar distribuciones estadísticas con temperatura. La tesis presenta estas distribuciones y analiza su límite termodinámico.<br /